Методички 
Нет комментариев Матанализ. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
3.1. Определение функции нескольких переменных
В практических задачах экономики, решаемых с использованием методов математического анализа, обычно функции зависят от нескольких переменных.
Например, в экономике часто используется функция Кобба-Дугласа
,
которая называется производственной функцией. Эта функция описывает зависимость объема производства Q от капитальных затрат К и трудовых ресурсов L. В этой функции А (А > 0) – параметр производительности конкретно взятой технологии, – доля капитала в доходе (0< a <1).
В экономических задачах так же часто используется функция прибыли, которая зависит от – объемов производства различных видов продукции, – цен на единицы этих видов продукции и затрат на производство
,
где - функция затрат.
Определение функции нескольких переменных. Переменная величина u называется функцией переменных величин с областью определения D и множеством значений E, если любой точке М(), принадлежащей области D, соответствует единственное значение u, принадлежащее множеству Е.
Записывают ( ) или u= u().
Пример 3.1. Найти область определения D и множество значений Е функции .
Находим |; .
Для простоты изложения обычно рассматривают функцию двух переменных. Обобщение результатов на большее число переменных не представляет труда.
Для изображения функции 2-х и 3-х переменных используют линии и поверхности уровня.
|
Рис. 46 |
Линией уровня функции называется множество точек плоскости , в которых функция имеет постоянное значение , с = const. Например, для функции линиями уровня являются окружности на плоскости (рис. 46). |
Поверхностью уровня функции 3-х переменных называ-ется множество точек трехмерного пространства , в которых функция принимает постоянное значение, т. е. f = c, с = const.
Например, для функции поверхностями уровня являются сферы r = const.
3.2. Предел функции нескольких переменных
Определение предела функции нескольких переменных по Коши на языке «». Число b называется пределом функции при , , если для любого e больше нуля существует такое d, зависящее от e, что если х принадлежит d-окрестности , y принадлежит d-окрестности , то значение функции принадлежит e-окрестности числа b.
С помощью кванторов данное определение можно записать так
, Þ
.
Множество