Учебные заметки

Обозначения и логические символы.. 3

§ 1. Полнота множества действительных чисел … 4

§ 2. Предел последовательности. 5

§ 3. Предел монотонной и ограниченной последовательности. Число е  8

§ 4. Предел функции. 10

§ 5. Односторонние пределы. Предел монотонной и ограниченной функции  14

§ 6. Предел сложной функции. 15

§ 7. Переход к пределу в неравенстве. 16

§ 8. Предел …. 17

§ 9. Предел  и три следствия из него. 18

§ 10. Сравнение бесконечно малых величин. 20

§ 11. Непрерывность функции в точке. 21

§ 12. Типы разрывов функции в точке. 22

§ 13. Непрерывность монотонной функции. 22

§ 14. Непрерывность обратной функции. 23

§ 15. Непрерывность основных элементарных функций и обратных к ним   24

§ 16. Свойства функций непрерывных на отрезке. 25

§ 17. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. 28

§ 18. Производная функции в точке. 30

§ 19. Дифференцирование обратной функции. 32

§ 20. Дифференцирование сложной функции. 32

§ 21. Дифференциал функции и его свойства. 34

§ 22. Производные произвольных порядков. Формула Лейбница  35

§ 23. Теоремы о конечных приращениях. 37

§ 24. Формула Тейлора. 41

§ 25. Представление основных элементарных функций с помощью формулы Тейлора  43

§ 26. Правило Лопиталя. 45

§ 27. Исследование функций. 47

Обозначения и логические символы

 − символ принадлежности ( − элемент  принадлежит множеству )

− символ принадлежности ( − элемент  принадлежит множеству )

− множество натуральных чисел

− множество целых чисел

− множество рациональных чисел

− множество рациональных чисел

− множество комплексных чисел

− замкнутый числовой интервал или отрезок

− открытый интервал

− окрестность точки , т.е. открытый интервал, содержащий точку

− -окрестность точки

− множество функций, непрерывных в точке  ( − функция , непрерывная в точке )

− множество функций, дифференцируемых в точке
( − функция  дифференцируема в точке )

− множество функций, непрерывных на отрезке

− множество функций,  раз дифференцируемых в точке

− для всякого

− существует

− следует

− эквивалентно.

§ 1. Полнота множества действительных чисел

Множество действительных чисел  является расширением множества рациональных чисел  посредством добавления новых (иррациональных) чисел, существование которых устанавливается с помощью аксиомы полноты, которую мы сформулируем ниже:

Определение. Множество  называется ограниченным сверху, если  такой, что ; число